Question

【题目】综合题

如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD= AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

Answer 1

【答案】
（1）=,BD=CD+AD
（2）证明：如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，

过A作AF⊥BD于F．

∵∠CDP=60°，

∴∠CDB=120°．

∵∠CAB=120°，

∴∠CDB=∠CAB，

∵∠DOC=∠AOB，

∴△DOC∽△AOB，

∴∠DCA=∠EBA．

在△DCA与△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，

∴∠DAE=120°，

∴∠ADE=∠AED= =30°．

∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，

∴DF= AD，

∴DE=2DF= AD，

∴BD=DE+BE= AD+CD，

∴BD﹣CD= AD

（3）解：线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD= AD或CD﹣BD= AD
【解析】解：（1）如图2，

∵∠CDP=120°，

∴∠CDB=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠CDB=∠BAC=60°，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠ACD=∠ABD．

在BP上截取BE=CD，连接AE．

在△DCA与△EBA中，

，

∴△DCA≌△EBA（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，

∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DE=AD．

∵BD=BE+DE，

∴BD=CD+AD．

所以答案是=，BD=CD+AD；

【考点精析】掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．