Question

【题目】我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如:某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形.

(1)若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形(填“是”或“不是”);

(2)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，CD=AB， 若△ACD是常态三角形，求△ABC的面积;，

(3)若Rt△ABC是常态△，斜边是，则此三角形的两直角边的和= .

Answer 1

【答案】(1)是；(2)或；(3) 2+4.

【解析】

（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；

（2）设CD=AD=BD=x，利用勾股定理求出AC2=4x2-36，然后根据常态三角形的定义分情况列方程求出x，进而可得AC的长，最后利用三角形面积公式求解；

（3）由勾股定理和常态三角形的定义得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，求出a：b=，然后设未知数表示出c的长，即可求出a，b的长，进而得出答案．

(1)∵，

∴此三角形是常态三角形；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，

∴CD=AD=BD=AB，

设CD=AD=BD=AB=x，则AB=2x，

由勾股定理得：AC2+62=（2x）2，

∴AC2=4x2-36，

①∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AD2=4AC2，

∴x2+x2=4（4x2-36），

∴x2=，
∴AC2=

∴AC=，

∴△ABC的面积为：×AC×BC=；

②∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AC2=4AD2，

∴x2+AC2=4x2，

∴AC2=3x2，

可得；

解得：x=6，

∴AC=，

∴△ABC的面积为：×AC×BC=，

综上所述，△ABC的面积为或；

（3）∵Rt△ABC是常态三角形，

设其两直角边分别为：a，b，斜边为c，

则由勾股定理和常态三角形的定义得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，

∴2a2=3b2，

∴a：b=，

设a=x，b=x，

则c=x，

∵斜边是2，即，

解得：x=，

∴a+b=.