Question

【题目】已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，

∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），

设所求直线解析式为y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴所求直线解析式为y=﹣2x+5

（2）

解：如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，

点A的坐标为（0，﹣3），

点C的坐标为（0，3），

可得：AC=6，

∵平行四边形ABCD的面积为12，

∴S△ABC=6即S△ABC= ACBE=6，

∴BE=2，

∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上，

∴顶点B的坐标为（2，﹣1），

又抛物线经过点A（0，﹣3），

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x﹣2）2﹣1

（3）

解：①如图，作BF⊥x轴于点F，

由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），

∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上，

∴n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），

在矩形ABCD中，CO=BO．

∴b= ，

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，

∴m= b，

n=﹣2× b+b=﹣ b，

②∵B点坐标为（m，n），即（ b，﹣ b），

∴BO= =b，

∴BD=2b，

当BD=BP，

∴PF=2b﹣ b= b，

∴P点的坐标为（ b， b）；

如图3，当DP=PB时，

过点D作DE⊥PB，于点E，

∵B点坐标为（ b，﹣ b），

∴D点坐标为（﹣ b， b），

∴DE= b，BE= b，设PE=x，

∴DP=PB= b+x，

∴DE2+PE2=DP2，

∴ +x2=（ b+x）2，

解得：x= b，

∴PF=PE+EF= b+ b= b，

∴此时P点坐标为：（ b， b）；

同理P可以为（ b，﹣ b）；（ b， b），

故P点坐标为：（ b， b）；（ b， b）；（ b，﹣ b）；（ b， b）．

【解析】（1）利用抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可；（2）首先得出点A的坐标为（0，﹣3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；（3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．