Question

【题目】如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连结CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB＝∠ADC；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB．其中正确结论的序号是（ ）

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①④

Answer 1

【答案】D

【解析】AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠DOB=∠CAO，
又∵∠CAO=∠ADC（都对着半圆弧），
∴∠DOB=∠ADC故①正确；
②由题意得，OD=R，AC=R，
∵OE：CE=OD：AC=1: ，
∴OE≠CE，故②错误；
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，
∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=12×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，

∴CD2=ODCE=ABCE，
∴2CD2=CEAB．
∴④正确．
故选D．