Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（k+1）x+k与x轴相交于A、B两点（点B位于点A的左侧），与y轴相交于点C．
（1）如图1，若k=2，直接写出AB的长：AB= ．

（2）若AB=2，则k的值为 ．
（3）如图2，若k=﹣3，

①求直线BC的解析式；
（4）如图3，若k＜0，且△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）1
（2）﹣1或3
（3）

当k=﹣3时，y=x2+2x﹣3，

令x=0得：y=﹣3，令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（1，0）、B（﹣3，0）、C（0，﹣3）．

设直线BC的解析式的y=kx+b，将点B和点C的解析式代入得： ，解得：k=﹣1，b=﹣3

②点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，试求△PBC的面积的最大值及此时点P的坐标

如图1所示：过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC与点E．

设P（x，x2+2x﹣3），则点E（x，﹣x﹣3）．

∴PE=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2+3x．

∴△BCP的面积=△PEB的面积+△PEC的面积= PEBD+ PEOD= PEOB= ×3×（﹣x2+3x）=﹣ （x+ ）2+ ．

∴当x=﹣ 时，△PBC的面积取得最大值，最大面积为 ，此时点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）

（4）

∵y=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣1）（x﹣k），k＜0，

∴A（1，0），B（k，0）、C（0，k）．

∴OA=1，OB=OC=﹣k．

∴AB=1﹣k，BC=﹣ k，AC= ．

当AB=BC时，有1﹣k=﹣ k，解得：k=﹣ ﹣1．

当AB=AC时，有1﹣k= ，解得k=0（舍去），

当BC=AC时，有﹣ k= ，整理得：k2=1，解得：k=﹣1或k=1（舍去）．

综上所述，△ABC是等腰三角形时，k的值为﹣ ﹣1或﹣1

【解析】解：（1.）把k=2代入得：y=x2﹣3x+2，
令y=0得：x2﹣3x+2=0，
解得x=2或x=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
∴AB=1．
所以答案是：1．
（2.）令y=0得：x2﹣（k+1）x+k=0，则（x﹣1）（x﹣k）=0，
解得x=1或x=k．
当点A的坐标为（1，0）时．
∵AB=2，
∴B（﹣1，0）．
∴k=﹣1．
当点B的坐标为（1，0）时，
∵AB=2，
∴B（3，0）．
∴k=3．
∴k的值为﹣1或3．
所以答案是：﹣1或3
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．