Question

【题目】在正方形ABCD中，DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G作PG⊥DE于点P，连接CP，过点D作DQ⊥PC于点Q，交射线PG于点H．

（1）如图1，若点G与点A重合．

①依题意补全图1；

②判断DH与PC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若点H恰好在线段AB上，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）．

Answer 1

【答案】（1）①补图见解析；②DH=PC，证明见解析；（2）解法见解析.

【解析】

试题分析：（1）①依题意补全图形即可；

②由正方形的性质和角平分线得出∠EDF=∠ADE=45°，证出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，由ASA证明△HAD≌△PDC，得出对应边相等即可；

（2）思路如下：a、与②同理可证∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可证△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，可设DP=PG=x，则GD=x，AG=1﹣x，易证△AGH为等腰直角三角形，则GH=﹣2x；c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的长．

试题解析：（1）①依题意补全图1，如图1所示：

②DH=PC，理由如下：

∵DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，

∴∠EDF=∠ADE=45°，

∵PG⊥DE于点P，

∴∠DAP=45°，

∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，

∴∠HAD=∠PDC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=CD，

∵DQ⊥PC，

∴∠CDQ+∠DCQ=90°，

∵∠ADQ+∠CDQ=90°，

∴∠ADQ=∠DCQ，

在△HAD和△PDC中，

，

∴△HAD≌△PDC（ASA），

∴DH=CP；

（2）求DP长的思路如下：如图2所示：

a、与②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，

∴△HGD∽△PDC；

b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，

∴∠AGH=∠PGD=45°，

∴△AGH为等腰直角三角形，

设DP=PG=x，则GD=x，AG=1﹣x，GH=﹣2x；

c、由△HGD∽△PDC得：，

即，

解得：x=（负值舍去），

∴DP=．