Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣8，D（1，﹣9）；（2）P（ ， ）；（3）点M的坐标为（﹣ ， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解析】试题分析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标；

（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，最后将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；

（3）先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CB的解析式为y=k2x﹣8，从而可求得点F的坐标，设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），然后分为MF=MB、FM=FB两种情况列方程求解即可．

试题解析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：a=1，c=﹣8，∴抛物线的解析式为．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）；

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0），

∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0），

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线，∴∠BEP=45°，

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得： ，解得：x=或x=，

点P在第四象限，∴x=，∴y=，∴P（， ）；

（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8，

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2，

∴直线BC的解析式为y=2x﹣8，

将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6），

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣，∴点M的坐标为（﹣， ）；

当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；

综上所述，点M的坐标为（﹣， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．