Question

【题目】已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．

（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．
①求证：△GCD∽△AHD；
②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；
（2）当tan∠ACB= 时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，

∴∠GCM=∠BAC=90°，

∵GD⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠GCA=∠ADM，

∵∠AND=∠GMC，

∴DAH=∠∠CGD，

∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG

∴△GCD∽△AHD；

②解：由①知：△GCD∽△AHD，

∴ ，

在Rt△DHC中，

∵∠ACB=30°，

=tan30°= ，

∴ = ；

（2）

5AD=4DG，

解：由①知△GCD∽△AHD，

在Rt△DHC中，

∵tan∠ACB= ，

∴ = ．

【解析】（1）①根据平行线的性质得到∠GCM=∠BAC=90°，根据垂直的定义得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠∠CGD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；②根据相似三角形的性质得到 ，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到 ，根据tan∠ACB= ，即可得到结论．
【考点精析】掌握相似图形和相似三角形的性质是解答本题的根本，需要知道形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）;判定:①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．