Question

【题目】如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．

（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PF=PB，

∴∠PFB=∠PBF，

又∵∠DFE=∠PFB，

∴∠DFE=∠PBF，

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．

又∵OD∥BC，

∴OD⊥AC．

∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE=90°，

又∵OD=OB，

∴∠D=∠DBO，

∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB⊥AB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥BC，OA=OB，

∴OE= BC= ×6=3．

∵OD⊥AB，

∴EC=AE．

∵在直角△OAE中，OA= AB= ×10=5，

∴AE= = =4．

∴EC=4．

【解析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得∠DFE=∠PBF，∠D=∠DBO，然后根据圆周角定理证明△DEF是直角三角形，据此即可证得∠PBA=90°，从而证明PB是切线；（2）根据三角形的中位线定理求得OE的长，然后根据垂径定理即可求解．
【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题．