Question

【题目】如图，在中，，，D是AC的中点，过点A作直线，过点D的直线EF交BC的延长线于点E，交直线l于点F，连接AE、CF．

（1）求证：①≌；②；

（2）若，试判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）若，探索：是否存在这样的能使四边形AFCE成为正方形？若能，求出满足条件时的的度数；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形AFCE是矩形，证明见解析；（3）当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形，证明见解析．

【解析】

（1）①根据中点和平行即可找出条件证明全等．

②由全等的性质可以证明出四边形AFCE是平行四边形，即可得到AE=FC．

（2）根据和可证明出△DCE为等边三角形，进而得到AC=EF即可证明出四边形AFCE是矩形．

（3）根据四边形AFCE是平行四边形，且EF⊥AC，得到四边形AFCE是菱形．由AC=BC，证出△DCE是等腰直角三角形即可得到AC=EF，进而证明出菱形AFCE是正方形．所以存在这样的．

（1）①

∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED．

∵AD=CD，∴△ADF≌△CDE．

②由△ADF≌△CDE，∴AF=CE．

∵AF∥BE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE=FC．

（2）四边形AFCE是矩形．

∵四边形AFCE是平行四边形，∴AD=DC，ED=DF．

∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∴∠ACE=60°．

∵∠CDE=2∠B=60°，∴△DCE为等边三角形，∴CD=ED，∴AC=EF，∴四边形AFCE是矩形．

（3）当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形．

∵四边形AFCE是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．

∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=22.5°，∴∠DCE=2∠B=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，即DC=DE，∴AC=EF，∴菱形AFCE是正方形．

即当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形．