Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5 ，则BD的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，

∴∠DCM+∠CDM=90°，

∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC2=AB2+BC2=25，

∴AC=5，

∵AD=5 ，CD=5，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠DCM=90°，

∴∠ACB=∠CDM，

∵∠ABC=∠M=90°，

∴△ABC∽△CMD，

∴ = = =1，

∴CM=AB=3，DM=BC=4，

∴BM=BC+CM=7，

∴BD= = = ，

故答案为： ．

作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，再由勾股定理求出BD即可