Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得 ；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）解：如图：

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MNOB，

∴S△BNC= （﹣m2+3m）3=﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m＜3）；

∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 ．

【解析】（1）把ABC 坐标代入解析式即可;（2）竖直线段长等于上纵减下纵，须求BC的解析式；（3）斜三角形（没有竖直或水平边）的面积可通过做竖直线分割转化为竖直三角形（有一条边竖直边），即S△BNC=S△MNC+S△MNB，构建函数即可解决.