Question

【题目】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M。

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN。

Answer 1

【答案】（1）33°（2）证明见解析

【解析】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。

又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。

由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°。

（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，

∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。

又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。

在△ACN和△MCN中，

∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。

（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数。

（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。

从而得证。