【题目】如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．

（1）求证：OF∥BE；

（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。

（2）（1＜x＜2）。

（3）存在这样的P点。理由见解析。

【解析】

分析：（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。

（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围。

（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OAtan30°=，即可得出答案。

解：（1）证明：连接OE，

∵FE、FA是⊙O的两条切线，∴∠FAO=∠FEO=90°。

在Rt△OAF和Rt△OEF中，∵，

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）。

∴∠AOF=∠EOF=∠AOE。∴∠AOF=∠ABE。

∴OF∥BE。

（2）过F作FQ⊥BC于Q，

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y，

PF=EF+EP=FA+BP=x+y。

∵在Rt△PFQ中，FQ2+QP2=PF2，

∴22+（x﹣y）2=（x+y）2

化简得：（1＜x＜2）。

（3）存在这样的P点。理由如下：

∵∠EOF=∠AOF，

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF。

当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，

此时Rt△AFO中，y=AF=OAtan30°=，

∴。

∴当 y=，时，△EFO∽△EHG。

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