Question

【题目】（1）如图（1），已知：在等腰直角三角形中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、.则、和之间的数量关系是： .

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在等腰三角形中，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角.请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）DE=BD+CE；（2）成立；（3）理由见解析．

【解析】

（1）根据同角的余角相等得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；

（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD．在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；

（3）连接BC．由（2）的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则有∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可证明△DBF≌△EAF，即可得出结论．

（1）DE=BD+CE．理由如下：

如图1．

∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°．

又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．

在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；

（2）成立．理由如下：

如图2．

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD．

在△ADB和△CEA中，∵，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）DF=EF．理由如下：

连接BC．

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴BF=BA=AF=AC，∠ABF=∠CAF=60°．

由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE．

在△DBF和△EAF中，∵，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF．