Question

【题目】（1）如图①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD，AE．

求证：△BCD≌△BAE．

（2）在（1）的条件下，当时，延长CD交AE于点F，如图②，求AF的长．

（3）在（2）的条件下，线段BC上是否存在一点P，使得△PBD为等腰三角形？若存在，请直接写出满足△PBD为等腰三角形时，线段PB的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2-1; (3) 存在, 1； .

【解析】分析：(1)根据同角的余角相等可得：∠CBD=∠ABE，再利用SAS即可得出结果.（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再证明BD=EF即可解决问题．（3）分情况讨论得出结果，继而再求出PB即可解决问题．

本题解析：

（1）∵∠ABC=∠DBE=90°即∠CBD+∠ABD=∠ABD+∠ABE=90°

∴∠CBD=∠ABE

又∵AB=BC，DB=BE

∴△BCD≌△BAE（SAS）

(2)如题图②中，设AB与CF交于点O．

由（1）可知：△BCD≌△BAE，

∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，

∵∠AOF=∠COB，

∴∠AFO=∠CBO=90°，

∴CF⊥AE，

∵BD∥AE，

∴BD⊥CF，

在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，

∴CD=AE=,

∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，

∴四边形EFDB是矩形，

∴EF=BD=1，

∴AF=AE-EF=2-1.

（3）存在.

当PB=BD=1时，△PBD为等腰三角形，PB=1；

当PD=BD=1时，△PBD为等腰三角形，PB=