Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，

则∠BDE+∠FDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠FDE+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠C=45°，

∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，

∵∠BFD=45°，DF⊥BC，

∴∠BFD=45°，BD=DF，

∴∠AFD=135°，

∴∠EBD=∠AFD，

在△BDE和△FDA中

，

∴△BDE≌△FDA（ASA），

∴AD=DE

（2）解：DE= AD，

理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，

则∠BDE+∠GDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°，

∴∠BDE=∠ADG，

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，

∴∠C=60°，

∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，

∵∠ABC=30°，DG⊥BC，

∴∠BGD=60°，

∴∠AGD=120°，

∴∠EBD=∠AGD，

∴△BDE∽△GDA，

∴ = ，

在Rt△BDG中，

=tan30°= ，

∴DE= AD

（3）AD=DEtanα；

理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°，

∴∠BDE=∠ADG，

∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，

∴∠EBD=∠AGD，

∴△EBD∽△AGD，

∴ = ，

在Rt△BDG中，

=tanα，则 =tanα，

∴AD=DEtanα

【解析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．