Question

【题目】如图，以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接BE、DF．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），则线段BE与DF的数量关系是 ．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时（如图2），问（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=DF（或相等）；（2）成立．证明见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质和等边三角形性质得：AB=AD，∠BAD=90°，AF=AB，AE=AD，∠BAF=∠DAE=60°，再根据全等三角形判定和性质即可.

（2）先利用平行四边形性质和等边三角形性质，再运用全等三角形判定和性质即可.

解：（1）BE=DF（或相等）如图1，

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠BAD=90°

∵△ABF、△ADE都是等边三角形

∴AF=AB，AE=AD，∠BAF=∠DAE=60°

∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=150°

∴∠BAE=∠DAF

∵AB=AF=AE=AD

∴△ABE≌△AFD（SAS）

∴BE=DF

故答案为：BE=DF或相等；

（2）成立．

证明：如图2，

∵△AFB为等边三角形

∴AF=AB，∠FAB=60°

∵△ADE为等边三角形，

∴AD=AE，∠EAD=60°

∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，

即∠FAD=∠BAE．

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE（SAS），

∴BE=DF．