Question

【题目】如图，在直角坐标系中，OC OD，OC OD ，DC 的延长线交 y 轴正半轴上点 B ，过点C 作CA BD 交 x 轴负半轴于点A ．

（1）如图1，求证：OAOB

（2）如图1，连AD，作OM ∥AC交AD于点M，求证： BC 2OM

（3）如图2，点E为OC 的延长线上一点，连DE，过点D作DFDE且DF DE ，连CF 交 DO 的延长线于点G 若OG 4，求CE 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CE=OT=8．

【解析】

（1）由OC⊥OD，CA⊥BD知∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，从而得∠AOC=∠BOD，∠OBD=∠OAC，结合OC=OD证△AOC≌△BOD可得答案；

（2）作AN∥OD，交OM延长线于点N，先证△BOC≌△OAN得BC=ON，AN=OC=OD，再证△AMN≌△DMO得OM=MN=ON，从而得证；

（3）作FT⊥DG，交DG延长线于点T，先证△FTD≌△DOE得FT=OD=OC，DT=OE，再证△FTG≌△COG得OT=2OG=8，根据OE=DT，OC=OD可得CE=OT．

解：（1）∵OC⊥OD，CA⊥BD，

∴∠COD=∠BCA=∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠COE=90°, ∠DOE+∠COE=90°,

∴∠BOC=∠DOE,

∴∠AOC=∠BOD，

同理可证∠OBD=∠OAC，

在△AOC和△BOD中，

∵，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

∴OA=OB；

（2）如图1，过点A作AN∥OD，交OM延长线于点N，

则∠OAN+∠AOD=180°，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD+∠BOC=180°，

∴∠OAN=∠BOC，

又∵OM∥AC，

∴∠AON=∠CAO，

由（1）知∠CAO=∠OBC，

∴∠AON=∠OBC，

又∵OA=OB，

∴△BOC≌△OAN（ASA），

∴BC=ON，AN=OC=OD，

∵AN∥OD，

∴∠MAN=∠MDO，∠MNA=∠MOD，

∴△AMN≌△DMO（ASA），

∴OM=MN=ON，即ON=2OM，

∴BC=2OM；

（3）如图2，过点F作FT⊥DG，交DG延长线于点T，

则∠FTD=∠DOE=90°，

∴∠ODE+∠OED=90°，

又∵DE⊥DF，

∴∠ODE+∠FDT=90°，

∴∠OED=∠TDF，

∵DE=DF，

∴△FTD≌△DOE（AAS），

∴FT=OD，DT=OE，

∵OD=OC，

∴FT=OC，

∵∠FTG=∠COG=90°，∠FGT=∠CGO，

∴△FTG≌△COG（AAS），

∴OT=2OG=8，

∵OE=DT，OC=OD，

∴CE=OT=8．