Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∠DOB为△COD的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠DOB，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠BDO=90°，

∴OD⊥AB，

又∵D在⊙O上，

∴AB是⊙O的切线

（2）

解法一：

过点O作OM⊥CD于点M，如图1，

∵OD=OE=BE= BO，∠BDO=90°，

∴∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∵∠DOB为△ODC的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

∴∠DCB=30°，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，

∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2 ；

解法二：

过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，

∵OM⊥CD，

∴CM=DM，又O为EC的中点，

∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，

∴DE=2OM=2，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∵Rt△BDO中，OE=BE，

∴DE= BO，

∴BO=BE+OE=2OE=4，

∴OD=OE=2，

在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2 ．

【解析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长．
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和垂径定理的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．