Question

【题目】如图甲，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为 ， 数量关系为 ．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

Answer 1

【答案】
（1）垂直；相等
（2）解：当点D在BC的延长线上时①中的结论仍成立．

理由：∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∴∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∵∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

即CF⊥BD

【解析】解：（1）结论：垂直，相等． 理由∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
所以答案是：垂直，相等；
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．