Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；

（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）S四边形PQAM=﹣t2+t；（3）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD；（4）当t=或时，△APQ与△ABC相似．

【解析】试题分析：（1）由点Q在线段AC的中垂线上可知CQ=AQ=8﹣2t，在Rt△BCQ中根据BC2+BQ2=CQ2列方程求解．

（2）先证明△APM∽△ACD，列方程用含t的代数式表示出AM和PM的值，然后根据四边形PQAM的面积=△APQ的面积+△APM的面积求解；

（3）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．首先根据四边形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分别求出△APM、△APQ的面积各是多少，再根据S四边形PQAM=S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．

（4）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP=90°时，△APQ与△ABC相似；②当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似；求出当t为何值时，△APQ与△ABC相似即可．

解：（1）由题意CQ=AQ=8﹣2t，

在Rt△BCQ中，∵BC2+BQ2=CQ2，

∴62+（2t）2=（8﹣2t）2，

解得t=．

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴S矩形ABCD=ABBC=8×6=48，

∵PM⊥AD，CD⊥AD，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，

∴==，

即 ==，

解得AM=t，PM=t，

∴S△APM=AMPM=×t×t=t2．

∵sin∠PAQ==，

∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=×2t（8﹣2t）×=t（4﹣t），

∵S四边形PQAM=t2+t（4﹣t）=﹣t2+t．

（3）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

如图2，

，

∵S四边形PQAM=S矩形ABCD，

∴t2+t（4﹣t）=×48，

整理，可得t2﹣20t+36=0

解得t=2或t=18（舍去），

∴存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

（4）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．

①当△APQ∽△ACB，

∴=，

即 =，

解得t=2，

②如图3，

，

当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似，

∵tan∠PAQ==，

∴=，

即 =，

∴PQ=t，

∵BQ=t，

∴AQ=8﹣2t，

在Rt△APQ中，

∵AP2+PQ2=AQ2，

∴（2t）2+（t）2=（8﹣2t）2，

解得t=1或t=﹣16（舍去）．

综上，可得

当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．