Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CD=BD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F，交AB的延长线于点E．

（1）求证：EF⊥AC；

（2）若AF=9，EF=12，求OE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质可得OD⊥DF，再利用圆周角定理证明AD⊥BC，根据等腰三角形的性质可证明OD∥AC，由平行线的性质即可得到EF⊥AC；

（2）首先根据勾股定理求出AE的长度，由OD∥AC，可得：△ODE∽△AEF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于OE的比例式，求出OE的值即可．

试题解析：

（1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF=90°．

∵BD=CD，OA=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，

∴EF⊥AC．

（2）∵AF=9，EF=12，EF⊥AC,

∴AE=

∵OD∥AC，

∴△AEF∽△OED,

∴ ,

即

∴OE=