Question

【题目】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，直接写出结论：AE　 　DB

（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）证明你得出的以上（1），如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．

（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED = EC．若△ABC的边长为1，AE = 2，求CD的长．

Answer 1

【答案】(1)=;(2)见解析;(3) CD=1或3，理由见解析.

【解析】

（2）过E作EF∥BC交AC于F，根据题意证明△DEB≌△ECF，即可求解.

（3）根据点E在直线AB的位置不同进行分类讨论，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，并证明△AMB∽△ENB，列出比例式求解即可.

解：（1）答案为：=．

（2）过E作EF∥BC交AC于F，在等边三角形ABC中，

有∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，

又∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

又∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF，

在△DEB和△ECF中，

∠DEB=∠ECF，∠DBE=∠EFC，DE=CE，

∴△DEB≌△ECF，

∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．

（3）解：CD=1或3，

理由是：分为两种情况：①如图1

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴△AMB∽△ENB，

∴=，

∴=，

∴BN=，

∴CN=1+=，

∴CD=2CN=3；

②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴=，

∴=，

∴MN=1，

∴CN=1﹣=，

∴CD=2CN=1，

即CD=3或1．