Question

【题目】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF；②∠BAE＝∠FBC；③S△ADB＝S△ADC；④AC＋CD＝AB；⑤AD＝2BE.其中正确的结论有______(填写序号)

Answer 1

【答案】：①②④⑤．

【解析】

证△ACD≌△BCF，推出AD=BF，CD=CF，证△AEB≌△AEF推出AB=AF，BE=EF，推出AD=BF=2BE，求出BD＞CD，根据三角形面积求出△ACD的面积小于△ADB面积，由CD=CF，AB=AF，即可求出AC+CD=AB．

解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠BCF=∠ACD=∠BEA=∠AEF=90°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，∴①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠CBF=∠FAE，
∴∠BAE=∠FBC，∴②正确；
过D作DQ⊥AB于Q，
则BD＞DQ，
∵AE平分∠BAC，BC⊥AC，DQ⊥AB，
∴DC=DQ，
∴BD＞CD，
∵△ADB的边BD上的高和△ABD的面积大于△ACD的面积，∴③错误；

∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△AEB和△AEF中，

，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴BE=EF，
∴BF=2BE，
∵AD=BF，
∴AD=2BE，∴⑤正确；

∵△ACD≌△BCF，△AEB≌△AEF
∴CD=CF，AB=AF，

∴AB=AF=AC+CF=AC+CD，∴④正确；
故答案为：①②④⑤．