Question

【题目】如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP＝QO，则∠OCP＝ ．

Answer 1

【答案】20或40或100

【解析】试题分析：解：①根据题意，画出图（1），

在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图2）

∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°-∠QOC）×①，

∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×②，

在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，

把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，

∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，

∴∠QOC=20°，则∠OQP=80°∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），

∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×①，

∵OQ=PQ，∴∠P=（180°-∠OQP）×②，

∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④联立得∠P=10°，

∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

故答案为：40°、20°、100°．