Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点O作OG⊥DC，垂足为G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，

∴OA⊥AD．

∴∠OAD=∠OGD=90°．

在△ADO和△GDO中 ，

∴△ADO≌△GDO．

∴OA=OG．

∴DC是⊙O的切线

（2）解：如图所示：连接OF．

∵OA⊥BC，

∴BE=EF= BF=12．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，

∴OF= =13．

∴AE=OA+OE=13+5=18．

∴tan∠ABC= =

【解析】（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线；（2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．
【考点精析】关于本题考查的梯形的定义和解直角三角形，需要了解一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．