Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE=DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AFGF=28时，请直接写出CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DCE=∠CEB，

∵EC平分∠DEB，

∴∠DEC=∠CEB，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DE=DC；

（2）解：如图，连接DF，

∵DE=DC，F为CE的中点，

∴DF⊥EC，

∴∠DFC=90°，

在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，

∴BF=CF=EF= EC，

∴∠ABF=∠CEB，

∵∠DCE=∠CEB，

∴∠ABF=∠DCF，

在△ABF和△DCF中，

，

∴△ABF≌△DCF（SAS），

∴∠AFB=∠DFC=90°，

∴AF⊥BF

（3）解：CE=4 ．

理由如下：∵AF⊥BF，

∴∠BAF+∠ABF=90°，

∵EH∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BEH=90°，

∴∠FEH+∠CEB=90°，

∵∠ABF=∠CEB，

∴∠BAF=∠FEH，

∵∠EFG=∠AFE，

∴△EFG∽△AFE，

∴ = ，即EF2=AFGF，

∵AFGF=28，

∴EF=2 ，

∴CE=2EF=4

【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE=∠DEC，进而得出DE=DC；（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF= EC，再根据SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，据此可得AF⊥BF；（3）根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根据公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，进而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2 ，即可得到CE=2EF=4 ．
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．