Question

【题目】如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D。

（1）求证： ；

（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即，如T(60°)=1.

①理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是 ；

②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）。

（参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） 0<T(a)<2 11.6

【解析】试题分析：（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；

（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；

②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．

试题解析：（1）∵AB=AC，DE=DF，

∴，

又∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DEF，

∴；

（2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，

则，

∴T（90°）=，

如图2，∠A=120°，AB=AC，

作AD⊥BC于D，

则∠B=30°，

∴BD=AB，

∴BC= AB，

∴T（120°）=

∵AB-AC＜BC＜AB+AC，

∴0＜T（α）＜2，

②∵圆锥的底面直径PQ=8，

∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，

设扇形的圆心角为n°，

则=8π，

解得，n=160，

∵T（80°）≈1.29，

∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．