Question

【题目】阅读理解：对于任意正实数a,b，

，

∴，

∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立．

结论：在a+b≥2（a,b均为正实数）中，若ab为定值p，则，

当且仅当a=b，a+b有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

（1）若x＞0，只有当x= 时，有最小值 ．

（2）探索应用：如图，已知A(-2,0)，B(0,-3)，点P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数取到最大值，最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）32，12；（2）12，菱形；（3）5，.

【解析】

试题分析：此题属于反比例函数综合题．考查了反比例函数的性质、菱形的判定以及阅读应用问题．注意准确理解a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立是关键．

（1）直接利用a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立；求解即可求得答案；

（2）首先设P（x，），则C（x，0），D（0，），可得S四边形ABCD=ACBD=（x+2）（+3），然后利用a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立求解即可求得答案；

（3）首先设y′==x-2+，当x=时y′最小，进而得出x的值以及y的值．

试题解析：（1）∵4x+9x≥2×4x×9x=12，当且仅当4x=9x时，等号成立，

∵x＞0，

∴x=32，

∴若x＞0，只有当x=32时，4x+9x有最小值为12；

故答案为32，12；

（2）设P（x，6x），则C（x，0），D（0，6x），

∴BD=6x+3，AC=x+2，

∴S四边形ABCD=ACBD=（x+2）（+3）=6+x+6x≥6+2=12，

当且仅当x=，即x=2时，四边形ABCD面积的最小值为12，

∴OB=OD=3，OA=OC=2，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）设y′=＝x-2+，

当x=时y′最小，

∴当x=5时，y′最小=8，

∴当x=5时，y最大=．