Question

【题目】如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF＝90°, 连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；

(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD＝kAB,AF＝kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；

(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.

Answer 1

【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α

【解析】试题分析：（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BA E=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；

（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°，所以DF与BE的夹角β=180°-α．

试题解析：（1）DF与BE互相垂直且相等．

证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中

AD=AB，AF=AE，

∠BAD=∠EAF=90°

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD≌△EAB（2分）

∴∠AFD=∠AEB，DF="BE"

∵∠AFD+∠AFG=180°，

∴∠AEG+∠AFG=180°，

∵∠EAF=90°，

∴DF⊥BE

（2）数量关系改变，位置关系不变．DF=kBE，DF⊥BE．

延长DF交EB于点H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF="kBE"

∵△FAD∽△EAB，

∴∠AFD=∠AEB，

∵∠AFD+∠AFH=180°，

∴∠AEH+∠AFH=180°，

∵∠EAF=90°，

∴∠EHF=180°-90°=90°，

∴DF⊥BE

（3）不改变．DF=kBE，β=180°-a．

延长DF交EB的延长线于点H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF=kBE

由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB

∵∠AFD+∠AFH=180°

∴∠AEB+∠AFH=180°

∵四边形AEHF的内角和为360°，

∴∠EAF+∠EHF=180°

∵∠EAF=α，∠EHF=β

∴a+β=180°∴β=180°-a