Question

【题目】如图（1），△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F。

①EF与BE、CF间有怎样的数量关系?∠A与∠BOC怎样的数量关系？说明理由。

②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有几个等腰三角形吗？如果有，第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？∠A与∠BOC的数量关系还存在吗？

③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F。如图（3），EF与BE、CF间的关系如何？∠A与∠BOC的数量关系？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系，根据三角形内角和定理及角平分线的定义探索∠A与∠BOC的关系；

（2）根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质，即可得出EF与BE，CF的关系；

（3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出EF与BE，CF的关系，根据角平分线的性质及三角形外角的性质探索∠A与∠BOC的关系．

解：（1）如图1，∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

又∠B、∠C的平分线交于O点，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，

∴OE=BE，OF=CF，

∴EF=OE+OF=BE+CF．

又AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，

∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

∠BOC=90°+ ∠A．理由如下：

∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A．

（2）有2个等腰三角形，分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）问中的关系EF=BE+CF仍成立．

理由：如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△BEO和△CFO是等腰三角形；

∵BE=OE，CF=OF，

∴EF=EO+FO=BE+CF；

∠BOC=90°+ ∠A．理由如下：

∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A．

（3）如图3，∵EO∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCD，

又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，

∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，

∴∠EOB=∠EBO，

∴BE=OE，

∠FCO=∠FOC，

∴CF=FO，

又∵EO=EF+FO，

∴EF=BE-CF．

∠BOC= ∠A．理由如下：

∵∠OCG=∠BOC+∠OBC，∠ACG=∠ABC+∠A，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，

∴∠ACG=2∠OCG，∠ABC=2∠OBC，

∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，

∴2∠BOC=∠A，

即∠BOC= ∠A．