【题目】(2016山西省第22题)综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（）沿对角线AC剪开，得到和．

操作发现

（1）将图1中的以A为旋转中心，逆时针方向旋转角，使 ，得到如图2所示的，分别延长BC 和交于点E，则四边形的状是 ；

（2）创新小组将图1中的以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所

示的，连接DB，，得到四边形，发现它是矩形．请你证明这个论；

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

参考答案：

【答案】(1)、菱形；(2)、证明过程见解析；(3)、或；(4)、平行四边形.

【解析】

试题分析：(1)、利用旋转的性质和菱形的判定证明；(2)、利用旋转的性质以及矩形的判定证；(3)、利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点在边上和点在边的延长线上时；(4)、开放型题目，答对即可.

试题解析：(1)、菱形

(2)、作于点E． 由旋转得，．

四边形ABCD是菱形，，，，，

同理，，又， 四边形是平行四边形，

又，，， ∴四边形是矩形

(3)、过点B作，垂足为F，， ．

在Rt 中，，

在和中，， ．

∽，，即，解得，

，，．

当四边形恰好为正方形时，分两种情况：

①点在边上．．

②点在边的延长线上，

综上所述，a的值为或．

(4)、答案不唯一．

平移及构图方法：将沿着射线CA方向平移，平移距离为的长度，得到，连接．

结论：四边形是平行四边形

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