Question

【题目】如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．

（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．

求证：BHGD=BF2

（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．

探究：FD+DG= ．请予证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）BD

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；

（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．

试题解析：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，

∴∠B=∠D，

∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，

∴BF=DF，

∵∠HFG=∠B，

又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF

∴∠GFD=∠BHF，

∴△BFH∽△DGF，

∴，

∴BHGD=BF2；

（2）∵AG∥CE，

∴∠FAG=∠C，

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠AGF=∠CFE，

∴AF=AG，

∵∠BAD=∠C，

∴∠BAF=∠DAG，

又∵AB=AD，

∴△ABF≌△ADG，

∴FB=DG，

∴FD+DG=BD，

故答案为：BD．