Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C90°，ACBC，AD是△ABC的角平分线，以D为圆心，DC为半径作⊙D，交AD于点E．

（1）判断直线AB与⊙D的位置关系并证明．

（2）若AC1，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）根据“作垂直，证相等”可证明AB与⊙D相切；

（2）分别求出所在圆的半径和圆心有的度数，代入弧长公式进行计算即可得解.

详解：（1）AB与⊙D相切．

证明：过点D作DF⊥AB，垂足为F．

∵AD是Rt△ABC的角平分线，∠C90°，

∴DFDC，

即dr，

∴AB与⊙D相切．

（2）∵∠C90°，ACBC1，∴∠BAC∠B45°，AB．

∵DF⊥AB，∴∠BDF∠B45°，∴BFDF．

∵AB、AC分别与⊙D相切，∴AFAC1．

设⊙D的半径为r．易得BF，BD，

∴，∴r．

∵AD是Rt△ABC的角平分线，∠BAC45°，

∴∠DAC ∠BAC22.5°．

又∵∠C90°，∴∠CDE67.5°．

∴．