Question

【题目】注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．
（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；
（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）
在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．
小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…
小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（0，0），B（4，0），D（0，3），
∴AD=3，AB=4，
由折叠得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN=∠NAB，
∴∠BAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=3×tan30°=3× = ，
∴∠DAM=30°，M（ ，3）；
（Ⅱ）延长MN交AB的延长线于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2 ，
∴（x+1）2=32+x2 ，
解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB= = × ANNQ= ×3×4= ；
（Ⅲ）如图3，过A作AH⊥BF于H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴ ，
Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，

由折叠得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：BH= = = ，
∴CF= ，
∴DF的最大值为DC﹣CF=4﹣
【解析】（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM≌△ADM，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM的长，写出M的坐标；（Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得关于x的方程：（x+1）2=32+x2 ， 求出x，得出AB是AQ的 ，即可得出△NAQ和△NAB的关系，得出结论；（Ⅲ）如图3，过A作AH⊥BF于H，证明△ABH∽△BFC，得 ，Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，可知：当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，求此时DF的长即可．
【考点精析】利用勾股定理的概念和翻折变换（折叠问题）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等斜边c的平方,即;a2+b2=c2；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．