Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）π；（2）π﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理求得PD⊥AB，然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD，进而求得OF=OP，根据三角形中位线的性质求得OD=BC，从而求得OA=2，然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长；

（2）求得OF和PF，然后根据S阴影=S扇形﹣S△OPF即可求得．

解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，

∴PD⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF=30°，

∴OF=OP，

∵OA=OC，AD=BD，

∴BC=2OD，

∴OA=BC=2，

∴⊙O的半径为2，

∴劣弧PC的长===π；

（2）∵OF=OP，

∴OF=1，

∴PF==，

∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．