Question

【题目】如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．

在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=4，

∴由勾股定理得AB=5．

∵∠ABC=90°，BD⊥AC，

∴△ABD∽△ACB，

∴ = ，

即 = ，

∴BC=

（2）证明：连接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD；

又∵E是BC的中点，BD⊥AC，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD．

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD．

∴ED与⊙O相切．

【解析】（1）根据勾股定理易求AB的长；根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长．（2）连接OD，证明DE⊥OD．