Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．

（1）求证：四边形BEDF是矩形；

（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；
（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠NBF=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．

试题解析：

（1）∵平行四边形ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，

∵DE⊥AB．BF⊥DC，

∴∠E=90°，∠F=90°，

∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，

∴四边形BEDF是矩形；

（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，

∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，

∴∠ADC=∠BCF，

∴∠NBF=∠MDE，

∵M、N分别为AD、BC的中点，

∴BN=DM，

在△BNF与△DME中

∴△BNF≌△DME（SAS），

∴EM=FN，

同理可得：EN=MF，

∴四边形EMFN是平行四边形．