Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AG=6．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠CDO+∠CDE=90°，进而得出答案；

（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AG的长．

（1）证明：连接OD．

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF=90°

∴∠OCD+∠CFO=90°，

∴∠ODC+∠CFO=90°，

∵∠EFD=∠FDE，

∠EFD=∠CDE，

∴∠CDO+∠CDE=90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，

∵∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=EO2，

∴32+x2=（x+1）2，

解得：x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

∵∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴==，

即=，

解得：AG=6．