Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，

∴ ，

解得 ．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣

（2）

解：如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，

∵点C在直线y=2x上，

∴C（5，10）

∵点A和A′关于直线y=2x对称，

∴OC⊥AA′，A′D=AD．

∵OA=5，AC=10，

∴OC= = = ．

∵S△OAC= OCAD= OAAC，

∴AD= ．

∴AA′= ，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，

∵∠A′AE+∠A′AC=90°，

∠ACD+∠A′AC=90°，

∴∠A′AE=∠ACD．

又∵∠A′EA=∠OAC=90°，

∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．

∴ ，

即 ．

∴A′E=4，AE=8．

∴OE=AE﹣OA=3．

∴点A′的坐标为（﹣3，4），

当x=﹣3时，

y= ×（﹣3）2+3﹣ =4．

所以，点A′在该抛物线上

（3）

解：存在．

理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得

∴直线CA′的解析式为y= x+

设点P的坐标为（x， x2﹣x﹣ ），则点M为（x， x+ ）．

∵PM∥AC，

∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，

∴（ x+ ）﹣（ x2﹣x﹣ ）=10．

解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）

当x=2时，y=﹣ ．

∴当点P运动到（2，﹣ ）时，四边形PACM是平行四边形

【解析】方法一：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．