Question

【题目】已知抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点为A

(1) 求证：该抛物线与x轴总有两个交点

(2) 当m＝1时，直线BC：y＝kx－2与该抛物线交于B、C两点，若线段BC被x轴平分，求k的值

(3) 以A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)k＝－1± (3) S△AMN=3为定值

【解析】试题分析：（1）根据根的判别式可证明交点的个数；

（2）把m=1代入函数的解析式，然后根据二次函数和一次函数的交点，联立方程组，得到含k的关于x的一元二次方程，然后根据根与系数的关系求出k的值；

（3）根据函数和等边三角形的对称性得到AB的关系式，然后根据三角形的面积确定其为定值.

试题解析：(1) ∵△＝4m2－4(4m－1)＝4(m－2)2＋16＞0

∴该抛物线与x轴总有两个交点

(2) 当m＝1时，y＝x2－2x－4

设A(x1，y1)、B(x2，y2)

联立 ，整理得x2－(k＋2)x－2＝0

∴x1＋x2＝k＋2，x1x2＝－2

当线段BC被x轴平分时

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝0

∴k(k＋2)－4＝0，解得k＝－1±

(3) 根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B

则AB＝BM

设M(a，b)

∴BM＝a－m（m＜a）

又AB＝yB－yA＝b－(4m－8－m2)＝a2－2ma＋4m－8－(4m－8－m2)＝(a－m)2

∴(a－m)2＝ (a－m)，∴a－m＝

∴BM＝，AB＝3

∴S△AMN＝AB·2BM＝×3×2×＝3为定值