Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a(x-5)(x+1)与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C（0，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF．当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（-5，-20）；（3）G（，2） （，2）

【解析】试题分析：（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点A作，交轴于点，交抛物线与点，通过∽ 求得OH的长，从而得到H点坐标，继而得到直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可得到点P坐标；

（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF,根据垂线段最短可得当时，OD（即EF）的长度最小．然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点G的纵坐标，代入解析式就可求出点G的横坐标，从而得到点G的坐标.

（1） ∵抛物线与轴交于点C（0， ），∴，

∴；

（2）过点A作，交轴于点，交抛物线与点，则A（5，0），B（-1，0）

∵，

∴∽span> ∴ ∴；

又∵， ，∴，

∴H（0，-10），A（5，0），∴直线AP的解析式为y=2x-10，

联立 ∴P（-5，-20）；

（3）∵轴， 轴，∴四边形OFDE是矩形，∴EF=OD，

∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当时，OD的长度最小．

此时， ，

又∵轴， ，∴∽，∴

∴，∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，

∴ 解得，

∴G（，2） （，2）.