Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？写出你猜想的结论，并说明理由；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由。

Answer 1

【答案】①BD=CE，BD⊥CE，理由见解析；②BD=CE，BD⊥CE，理由见解析．

【解析】

试题分析：①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；

试题解析：解：①结论：BD=CE，BD⊥CE；理由如下：

在△ABD与△ACE中，

AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如图（1），延长BD交CE于F，

∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠CDF=∠EAC，

∴BD⊥CE

②结论：BD=CE，BD⊥CE

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如图（2）延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE