Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；

（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴AC=CB

（2）

解：①由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠DAF=∠ABD，

∴∠DAF=∠ADB，

∴AF∥BD，

∴∠BAC=∠ABD，

∵∠ABD=∠FAD

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°，

由旋转得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED，

∴AF=BE，

②如图，

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，

由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，

∴∠BAD=36°，

设BD=y，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BD=y，

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，

∵∠BDG=∠ADB，

∴△BDG∽△ADB，

∴ ．

∴ = ﹣1，即（ ）2﹣ ﹣1=0，

∴ ，

∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，

∴△AFD∽△BED，

∴ ，

∴AF= = x

【解析】（1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断出△ABC是等腰直角三角形；（2）①由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；②根据题意画出图形，先求出角度，得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形，再用相似求出， ，最后判断出△AFD∽△BED，代入即可．