Question

【题目】如图，已知点A、B、C在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形．则在下列结论中：①AP=DQ，②EP=EC，③PQ=PB，④∠AOB=∠BOC=∠COE．正确的结论是 （填写序号）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

试题分析：易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE=∠BDC，从而可证到△ABP≌△DBQ，则有AP=DQ，BP=BQ，由∠PBQ=60°可得△BPQ是等边三角形，则有PQ=PB．∠BPQ=60°，从而可得∠EPB＞∠EBP，即可得到EB＞EP，即EC＞EP，由△ABE≌△DBC可得S△ABE=S△DBC，AE=DC，从而可得点B到AE、DC的距离相等，因而点B在∠AOC的角平分线上，即可得到∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴BD=BA=AD，BE=BC=EC，∠ABD=∠CBE=60°，

∵点A、B、C在同一直线上，

∴∠DBE=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°．

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，

∴∠BAE=∠BDC．

在△ABP和△DBQ中，

，

∴△ABP≌△DBQ，

∴AP=DQ，BP=BQ．

∴①正确．

∵∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=PB．∠BPQ=60°．

∴③正确．

∵∠EPB＞∠BPQ，∠BPQ=∠EBP=60°，

∴∠EPB＞∠EBP，

∴EB＞EP，

∴EC＞EP，

∴②不正确．

∵∠DPA=∠PDO+∠DOP，∠DPA=∠PAB+∠ABP，∠PDO=∠PAB，

∴∠DOP=∠ABP=60°，

∴∠COE=60°，∠AOC=120°．

∵△ABE≌△DBC，

∴S△ABE=S△DBC，AE=DC，

∴点B到AE、DC的距离相等，

∴点B在∠AOC的角平分线上，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，

∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

∴④正确．

故答案为①③④．