Question

【题目】如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2=2AC2 ． （提示：连接BD）

Answer 1

【答案】证明：连结BD，
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC2+BC2=AB2 ，
∴2AC2=AB2 ． ∠ECD﹣∠ACD=∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD2+BD2=AB2 ，
∴AD2+AE2=2AC2 ．
【解析】连结BD，根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出结论．
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和等边三角形的性质，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．