Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：CD∥BF；

（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=8．

【解析】

试题分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；

（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=，即可求得线段AD的长．

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴BF⊥AB，

∵CD⊥AB，

∴CD∥BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵⊙O的半径5，

∴AB=10，

∵∠BAD=∠BCD，

∴cos∠BAD=cos∠BCD==，

∴AD=cos∠BADAB=×10=8，

∴AD=8．