Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形，理由见解析；（3）当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；

（2）结合（1）的结论可作出判断；

（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.

（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

∴CO=CD，∠OCD=60°

∴△COD是等边三角形.

（2）解：当=150°时，△AOD是直角三角形

理由是:∵△BOC≌△ADC

∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等边三角形

∴∠ODC=60°[来

∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形.

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO

∵∠AOD= = ,∠ADO=

∴=

∴

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO

∵∠OAD=（∠AOD+∠ADO）==

∴=

∴

③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.

∵∠AOD= = ，∠OAD=∴=，解得

综上所述：当的度数为或或时，△AOD是等腰三角形.

“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.