Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①④

【解析】.①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴AB=4，

∴对称轴x= =1，

即2a+b=0；

故①正确；

②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0

∴b＜0，

∵对称轴x=1，

∴当x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0；

故②错误；

③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴当x=2时y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

又∵b＜0，

∴4a+b+c无法确定；

故③错误；

④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．

当x=1时，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵当x=1时y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0；

x=3时y=0．

∴9a+3b+c=0，

解这三个方程可得：b=﹣1，a= ，c=﹣；

故④正确；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

当AB=BC=4时，

∵AO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣ ，

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ；

同理当AB=AC=4时，

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ；

同理当AC=BC时

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．

所以正确的额结论有：①④